los radicales

1- DEFINICIÓN En general se llama Raíz de índice n de un número A, o raíz n-ésima de A, a otro número, B, de manera que al elevarlo a n (índice) nos dé el valor del radicando A. Un radical es por tanto una raíz indicada, sin resolver, y representa el valor exacto del número real, sin errores. Entonces por ejemplo, a partir de la definición podemos calcular las siguientes raices:

2- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS RADICALES. 2.1. Producto de radicales con el mismo índice: Es otro radical del mismo índice que resulta de multiplicar los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos. Ejemplo / Ejercicio:

2.2. Cociente de radicales con el mismo índice: Es otro radical del mismo índice que resulta de dividir los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos. Ejemplo / Ejercicio:

2.3. Potencia de un radical: en general, Es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es una potencia de exponente igual al del radical Ejemplo / Ejercicio:

2.4. Raíz de un radical: Es otro radical cuyo índice es el producto de los índices y el radicando es el mismo. Ejemplo / Ejercicio:

2.5. Radicales Equivalentes: Son radicales equivalentes aquellos que tienen el mismo valor. Por ejemplo:

Observamos que una forma de obtener radicales equivalentes es multiplicar el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, por analogía con las fracciones, amplificación de radicales. Del mismo modo podemos obtener radicales equivalentes dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, simplificación de radicales. Así: Amplificar: ; Simplificar: Ejemplo / Ejercicio: Obtener dos radicales equivalentes, uno simplificando y otro amplificando:

Ejercicio 1: Completa para que sean radicales equivalentes:

Una aplicación inmediata de esta propiedad es la de reducir varios radicales a índice común; calculando el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los índices y obteniendo radicales equivalentes a los de partida con índice el m.c.m. Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador: ; ; 1º Calculamos el m.c.m. de los índices: m.c.m.(6,4,1)=12 2º Obtenemos radicales equivalentes con este índice:

Ejercicio 2: Reduce a común denominador los siguientes radicales:

Ejercicio 3: Calcula aplicando las propiedades de los radicales, simplificando el resultado:

3- CALCULO DE RAÍCES POR FACTORIZACIÓN. Las propiedades de los radicales nos permiten calcular raíces, de forma fácil, a partir de la factorización de su radicando. Este método es muy útil para el cálculo de raíces de números muy grandes o no inmediatas. Ejemplo / ejercicio:

Esto nos lleva a: 3.1. Extraer factores de un radical Se extraen tantos factores como grupos de igual número que el índice haya. Por ejemplo:

3.2. Introducir factores en un radical. Para introducir un factor en un radical, tenemos que elevarlo al índice del radical, por ejemplo:

4- OPERACIONES CON RADICALES 4.1. Suma y Diferencia de radicales: Sólo se pueden sumar y restar radicales iguales, es decir, aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo Ejercicio::

4.2. Multiplicación y Cociente de radicales: Sólo se pueden multiplicar y dividir radicales con el mismo índice. Así que el primer paso es reducir a índice común todos los radicales de la multiplicación/división. Ejemplo / Ejercicio:

5- RACIONALIZAR denominadores. Consiste en eliminar radicales del denominador, ya que a veces conviene y simplifica el resultado. Nos encontramos principalmente dos casos: Caso I: Cuando hay un radical en el denominador bien sólo o bien multiplicado por algún/os número/s. Es decir, cuando tenemos una expresión reducible a :

Se resuelve pasando a una fracción equivalente, multiplicando numerador y denominador por el mismo número, que será

(se trata de multiplicar el denominador por un número de manera que el exponente del radicando sea igual que el índice de la raíz y así ésta se simplificaría), de manera que nos quedaría:

Ejemplo/Ejercicio:

Caso II: Cuando haya en el denominador una suma o resta donde aparezca un radical cuadrado:

Se resuelve multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador (nota: el conjugado de A+B es A-B y el conjugado de A –B es A+B), de manera que lo que se obtiene es una suma por deferencia que es igual a la diferencia de cuadrados (nota: (A+B)∙(A–B)=A2 – B2 ). Así pues:

Ejemplo/Ejercicio: